نظرية المجال الكمي

◾الجزء الأول
◾ نظرية المجال
المصدر :-
Quantum field theory for the gifted amateurTom LancasterAnd Stephen J. Blundell
مقدمة :- Overture
لنبدأ من البداية ديلان توماس (1914-1953)
البدايات دائمًا ما تكون مزعجة جورج إليوت (1819-1880)
٠-١ ما هي نظرية المجال الكمومي؟ What is the quantum field theory
كل جسيم وكل موجة في الكون هي ببساطة إثارة لحقل كمي معرف في كامل الفضاء الزمكانى .
هذا التأكيد الرائع هو في صميم نظرية المجال الكمي . و هذا يعني أن أي محاولة لفهم القوانين الفيزيائية الأساسية التي تحكم الجسيمات الأولية يجب أن تتعامل أولاً مع أساسيات نظرية المجال الكمي . و هذا يعني أيضًا أن أي وصف لأنظمة متفاعلة معقدة ، كما هو الحال في المسألة الخاصة بالانظمة عديدة-الجسيمات وفي فيزياء المادة المضغوطة ، ستكون متضمنة فى نظرية المجال الكمي لوصف التفاعلات بشكل صحيح . قد يعني حتى ، على الرغم من أنه في وقت كتابة هذا التقرير ، لا أحد يعرف ما إذا كان هذا صحيحًا ، فإن النظرية الكاملة للجاذبية الكمية ستكون نوعًا من الترقية الكمية للنسبية العامة (وهي نظرية مجال كلاسيكية) . على أي حال ، فإن نظرية المجال الكمي هي أفضل نظرية متاحة حاليًا لوصف العالم من حولنا ، و التى تجسدت بوجه خاص فيما يُعرف باسم الديناميكا الكهربية الكمية (QED) ، هي النظرية الفيزيائية الأكثر دقة التي تم اختبارها . على سبيل المثال ، تم اختبار العزم المغناطيسي ثنائي القطب للإلكترون حتى عشرة أرقام عشرية .
للأفكار التي تتكون منها نظرية المجال الكمومي نتائج عميقة . تشرح لماذا كل الإلكترونات متطابقة (و نفس الشئ بالنسبة جميع الفوتونات ، جميع الكواركات ، إلخ) و تفسيره أن كل إلكترون هو إثارة لنفس المجال الكمي للإلكترون ، وبالتالي ليس من المستغرب أن يكون لها نفس الخصائص . تقيد نظرية المجال الكمي أيضًا التناظر فى تمثيلات مجموعات التناظر التبادلية لأي فئة من الجسيمات المتطابقة بحيث تخضع بعض الفئات لإحصاءات فيرمي ديراك وغيرها لإحصاءات بوز آينشتاين . تتضمن التفاعلات في نظرية المجال الكمي حاصل ضرب المؤثرات التى وُجد انها مسئولة عن إنشاء الجسيمات و المسئولة عن إفناءها ، وبالتالي فإن التفاعلات مرتبطة بالعمليات التي يتم فيها إنشاء الجسيمات أو إفناءها ؛ و بالتالى ، يوجد أيضًا إمكانية إنشاء أو إفناء الجسيمات الافتراضية التي تمثل حاملات مجال للقوى المختلفة .
٠-٢ ما هو المجال؟ What is the field

-----------------------------------------------------------

كل هذا جيد جدًا ، لكن ما هو المجال؟ سنفكر في المجال على أنه نوع من الآلات التي تتخذ موضعًا ما في الفضاء الزمكانى و تخرج جسمًا يمثل سعة شيء ما عند تلك النقطة من الزمكان (الشكل 1) . السعة يمكن أن تكون قياسية أو متجه أو عدد مركب أو سبينور أو تنسور . يمكن إرجاع مفهوم المجال ، وهو كيان غير مرئي يسود الزمان و المكان ، و الذى ترجع بداية التطرق اليه إلى دراسة الجاذبية بواسطة كبلر و نيوتن ، لكن استخدام المصطلح أو إدخال فكرة التاثير عن بعد بين جسمين ماديين بدوا ناجحين ولكنه بدا الامر غامض تمامًا . اقتربت ديناميكيات الموائع لأويلر من المسألة من خلال النظر في ما قد نفكر فيه الآن على أنه حقل سرعة يصوغ حركة السائل في كل نقطة في الفضاء ، ومن ثم قدرته على القيام بالعمل على جسيم اختبار تم تخيله في موقع معين . فاراداي ، على الرغم من (أو ربما بسبب) غياب التعليم الرياضي ، استوعب بشكل حدسي فكرة المجال الكهربي أو المغناطيسي الذي يتخلل كل المكان والزمان ، وعلى الرغم من أنه افترض هذه الصورة الذهنية المريحة في البداية ، إلا أنه بدا يصبح مقتنعًا بشكل متزايد بأن خطوط القوة كان لها وجود مادي مستقل . قام ماكسويل بتدوين فكرة فاراداي وولد المجال الكهرومغناطيسي ، جنبًا إلى جنب مع جميع أدوات نظرية المجال .
وهكذا نفهم في الفيزياء الكلاسيكية أن الجاذبية هى مجال ، وأن الكهرومغناطيسية هى مجال ، ويمكن وصف كل منها بمجموعة من المعادلات التي تحكم سلوكهم . يمكن أن يتأرجح المجال في الزمان و المكان ، وبالتالي يمكن العثور على آثار شبيهة بالموجات في المجال (الموجات الكهرومغناطيسية معروفة جيدًا ، لكن موجات الجاذبية لا تزال قيد الملاحظة) . أدى ظهور ميكانيكا الكم إلى إزالة التمييز بين ما كان يُعتقد أنه كائنات تشبه الموجة و الكائنات الشبيهة بالجسيمات . لذلك ، حتى المادة نفسها هي إثارة للحقل الكمي و بالتالى ، تصبح الحقول الكمية هي الأشياء الأساسية التي تصف الواقع .
٠-٣ لمن هذا الكتاب؟ Who is this book for

إن نظرية المجال الكمي مهمة بلا شك ، لكنها أيضًا صعبة بشكل ملحوظ . حيث تتضمن تكاملات تبدو غير قابلة للحل وعدد كبير من مخططات فاينمان المتعرجة المضحكة تكفي لإثارة الخوف في الكثير من القلب والمعدة . لا يساعد هذا الموقف حقيقة أن العديد من الكتب المتميزة كتبها ممارسون أذكياء للغاية يقومون ببناء تفسيراتهم مع وضع المحترف الطموح في الاعتبار . لكن بفضل الله تم تصميم هذا الكتاب ليكون مختلفًا . فهو مكتوب من قبل علماء الفيزياء التجريبية ويستهدف الهواة المهتمين .  إن نظرية المجال الكمي مثيرة للاهتمام ومهمة للغاية بحيث لا يمكن تخصيصها للمنظرين المحترفين . و مع ذلك ، على الرغم من أن قارئنا المتخيل ليس بالضرورة مؤيدًا طموحًا و مهنيا (على الرغم من أننا نأمل أن يكون عددًا قليلا كذلكً) سنفترض أنه  متحمس ولديه بعض الإلمام بميكانيكا الكم غير النسبية ، والنسبية الخاصة وتحولات فورييه على مستوى فيزياء ما قبل التخرج . في الجزء المتبقي من هذا الفصل ، سنراجع بعض المفاهيم الأساسية التي ستساعدنا فى إنشاء الترميز المناسب .  
٠-٤ النسبية الخاصة :- Special relativity
يتم تعريف الحقول الكمية عبر المكان والزمان ولذا نحتاج إلى وصف مناسب للزمكان ، ولذا سنحتاج إلى استخدام نظرية النسبية الخاصة لأينشتاين التي تؤكد أن سرعة الضوء c هي نفسها في كل الأطر القصورية . تشير هذه النظرية إلى أن إحداثيات حدث ما في إطار S وإطار 'S (يتحرك بالنسبة للإطار S بسرعة v على طول المحور x) مرتبطة بتحويلات لورنتز ، و التى على الصورة
t'=γ(t - vx/c²) , x'=γ(x - vt) , y'=y , z'=z (1)
حيث γ=(1- β²)⁻½ and β=v/c
نظرًا لأن سرعة الضوء هى المقياس لجميع السرعات ، فسنختار وحداتنا بحيث تكون c = 1 . و لأسباب مماثلة سنقوم أيضًا بإذن الله بوضع h = 1 . يقال إن النظرية الفيزيائية الجيدة متغايرة إذا كانت تحول بشكل معقول في ظل التحويلات الإحداثية . على وجه الخصوص ، يستلزم أن تكون الكميات متغايرة فى ظل تحويلات لورنتز Lorentz covariant إذا كان عليها أن تتحول بشكل مناسب فى ظل عناصر مجموعة لورنتز (والتي تشمل تحويلات لورنتز للنسبية الخاصة ، مثل المعادلات(١)). سيتطلب ذلك منا كتابة نظريتنا بدلالة بعض الكائنات الرياضية المعروفة جيدًا ، مثل الكميات القياسية والمتجهات والتنسورات .

• الكميات القياسية : الكمية القياسية هو عدد ، و يأخذ نفس القيمة في كل الأطر القصورية . ومن ثم يقال أنه ثابت فى ظل تحويلات لورنتز Lorentz invariance . و من أمثلتها الشحنة الكهربائية وكتلة السكون للجسيم .

-------------------------------------------------------

• المتجهات : يمكن اعتبار المتجه كسهم(طوله يدل على المقدار و إتجاهه يدل على الاتجاه) . حيث يمكن وصفه في إطار إحداثى معين بواسطة مجموعة من المركبات . فإذا تم تدوير الإطار ، فستتغير المركبات ، لكن طول السهم لن يتغير (طول المتجه هو عدد قياسي). في الزمكان ، المتجهات لها أربعة مكونات و لذلك يطلق عليه متجهات رباعية الابعاد four-vectors. المتجه الرباعي الابعاد هو كائن له مركبة واحدة شبيهة الزمان timelike وثلاثة مركبات شبيهة المكان spacelike . سيتم تمييز المركبات المكانية ثلاثية الابعاد ب • اعلى الرمز ، مثل •x أو •p للموضع والزخم او كمية التحرك الخطية على التوالي . يتم سرد مركبات المتجهات الثلاثة مع فهرس روماني : على سبيل المثال xⁱ ، مع i = 1، 2 ، 3 . يتكون المتجه رباعى الابعاد من جزء شبيه الزمان وجزء شبيه المكان ويتم تمييزها بنقطة ، لذلك تكتب إحداثيات اى نقطة فى الفضاء الزمكانى كالتالى x=(t , x•) و سنكتب مركبات الموجات الرباعية الابعاد بالحروف الاغريقية حيث يكتب المتجه كالتالى aᵠ حيث φ فهرس يوناني يأخذ القيم φ = 0 ، 1 ، 2 ، 3 . و المركبة الصفرية ، χ⁰ ، هى المركبة الزمانية او شبيهة الزمان . 

-------------------------- 

مثال (٠-١) بعض الأمثلة الأخرى على متجهات رباعية الابعاد هي:
• متجه الطاقة-كمية التحرك الخطية p = (E ، p•) ،
• متجه كثافة التيار رباعي الابعا المتجه j = (ρ ، j• ) ،
• متجه الجهد رباعى الابعاد A = (V ، A• ) .
المؤثر التفاضلى رباعي الأبعاد ᵩ∂ ، هو أيضًا مزيج من جزء شبيه الزمان وجزء شبيه المكان ، ويتم تعريفه كالتالى
∂ᵩ =∂/∂χᵠ=(∂/∂t , ∇)=(∂/∂t , ∂/∂χ , ∂/∂y , ∂/∂z) (2)
لاحظ أن الفهرس المكتوب فى ᵩ∂ يكون سفليا ، على النقيض من الفهرس المكتوب فى χᵠ∂/∂ و الذى يكون علويا ، مما يعني أن المشتقة رباعية الأبعاد تكون سفلية بشكل طبيعي . هذا مهم ، كما سنصفه الآن .

 -----------------------

التحويل الإحداثي العام من إطار قصورى ما إلى إطار قصورى أخر {x'ᵠ} → {xᵠ} ، والمتجه aᵠ يم تحويله كالتالى
a'ᵠ =(∂x'ᵠ/∂xᵝ) aᵝ (3)

لقد استخدمنا هنا بروتوكول جمع أينشتاين Einstein summation  convention ، والذي من خلاله يُفترض أن يتم تجميع الفهارس المكررة مرتين مرة سفلية و آخرى علوية من صفر الى ٣ كالتالى

  a'ᵠ =Σᵦ₌₀³(∂x'ᵠ/∂xᵝ) aᵝ
يتم تحويل بعض المتجهات الأخرى بشكل مختلف . على سبيل المثال ، متجه التدرج ᵩΦ∂

∂Φ/∂x'ᵠ =(∂xᵝ/∂x'ᵠ) (∂Φ/∂xᵝ) (4)
,الاصطلاح المستخدم هو أنه يتم تحويل a'ᵠ كمتجه لا متغاير contravariant vector ، بينما يتم تحويل ᵩΦ∂ كمتجه متغاير covariant vector ، على الرغم من أننا سوف نتجنب هذه المصطلحات لكن فقط لاحظ أن aᵠ فهارسه علوية upstairs , وأن ᵩΦ∂ فى سفلية و سيتم تحويلهما وفقًا لذلك . يمكن إعادة كتابة تحويلات لورنتز (معادلة ١) في شكل مصفوفة كالتالى
It'I=Iγ -βγ 0 0I ItI

 Ix'I I-βγ γ 0 0I IxI

Iy'I I0 0 1 0I IyI

Iz'I I0 0 0 1I IzI 

(5)
أو باختصار كالتالى
x'ᵠ=Λᵠᵦ xᵝ (6)
حيث Λᵠᵦ=(∂x'ᵠ/∂xᵝ) هي مصفوفة تحويل لورنتز . وبنفس الطريقة ، يم تحويل متجه الطاقة-كمية التحرك رباعي الابعاد كالتالى
p'ᵠ=Λᵠᵦ pᵝ (7)
المتجه ذو الفهارس السفلي (المتغاير) aᵠ ، يحول كالتالى
a'ᵩ=Λᵝᵩ aᵦ (8)
حيث Λᵝᵩ= (∂xᵝ/∂xᵠ) هو معكوس مصفوفة تحويل لورنتز Λᵠᵦ . يغير تحويل لورنتز المركبات ولكنه يترك طول المتجه رباعى الابعاظ دون تغيير . يُعطى هذا الطول من خلال الجذر التربيعي لـ
|x|²=x . x=(x⁰) - (x¹)² - (x²)² - (x³)² (10)
بشكل عام ، حاصل الضرب الداخلي للمتجهات رباعية الابعاد هو
a · b = a⁰b⁰ - a• · b• (11)
يمكننا كتابة
a · b = gᵩᵦ aᵠbᵝ (12)
حيث يتم إعطاء تنسور المترية gᵩᵦ بالمصفوفة
gᵩᵦ =I1 0 0 0I

 I0 -1 0 0I

 I0 0 -1 0I

 I0 0 0 -1I (13)
ترتبط المتجهات ذات الفهارس العلوية والسفلية بواسطة تنسور المترية عبر المعادلة
aᵩ= gᵩᵦ aᵝ (14)
اى ان تنسور المترية يستخدم لخفض أو رفع الفهارس . يسمح لنا شكل تنسور المترية في المعادلة(١٣) بكتابة
a⁰= a₀ , aⁱ= -aᵢ (15)
وبالتالي
a · b=gᵩᵦ aᵠbᵝ=aᵩbᵠ=aᵠbᵩ (16)
لاحظ أيضًا أن
a . b=gᵠᵝ aᵩbᵦ
و gᵠᵝ = gᵩᵦ . 

-----------------------

مثال(٠-٢) :- أمثلة لحاصل الضرب الداخلى
(١)p . p= (E ، p• ) · (E ، p• ) = E² - p• ² = m² (17) حيث m هي الكتلة السكونية للجسيم .
(٢) الدمج ᵩxᵝ∂ ومن ثم حاصل الضرب الداخلي4=ᵩxᵠ∂(تذكر بروتوكول تجميع آينشتاين).

---------------------------------------

(٣) مؤثر اللامبارتيان d'Alembertian وهو ²∂ يتم إعطاؤه بواسطة حاصل ضرب مؤثرى الاشتقاق ᵩ∂ (وهو التعميم رباعي الأبعاد لمؤثر اللابسياتم Laplacian). و يكتب كالتالى
∂²=∂ᵠ∂ᵩ=∂²/∂t² - ∂²/∂x² - ∂²/∂y² - ∂²/∂z² (18)
∂²=∂ᵠ∂ᵩ=∂²/∂t² - ∇² (19)

---------------------------
و تكتب الصيغة العامة لتحويل التنسور كالتالى
Tᵠ'···ᵝ' ᵥ،...ₖ،=(∂xᵠ'/∂xᵠ)...(∂xᵝ'/∂xᵝ)(∂xᵛ/∂xᵛ')...(∂xᵏ/∂xᵏ')Tᵠ···ᵝ ᵥ...ₖ (20)

 -------------------------------

مثال (٠-٣)
(١) دالة دلتا Kronecker delta هو تنسور مختلط من الرتبة الثانية ويمكن للمرء التحقق من أنه يتحول بشكل صحيح على النحو التالي :
δ'ᵠᵦ=(∂x'ᵠ/∂xᵅ)(∂xᵞ/∂x'ᵝ)δᵅᵧ (21)
لاحظ ذلك اينما تتم كتابة δᵠᵝ أو δᵩᵦ ، فإنها ليست تنسورات و إنما ببساطة اختصار للكمية القياسية 1 ، في الحالة عندما يكون φ=β ، أو 0 عندما φ≠β .
(٢) رمز ليفى-سيفيتا :- Levi-Civita فى الفضاء رباعى الابعاد و يعرف كالتالى
εᵠᵝᵞᵅ=+1 for even permutation

 or=-1 for odd permutation

 or=0 otherwise
تحويل فورير :- Fourier transforms
سنحتاج باستمرار إلى التبديل بين تمثيلات الكائن في الفضاء الزمكانى و الفضاء الموجى حيث الابعاد المكانية هو التردد المكانى •k (متجه الموجة او عدد الموجة و يساوى 2π/λ)والزمني هو التردد ω(السرعة الزاوية و تساوى 2πυ) و يشكلان أيضًا متجهًا رباعي الابعاد(ω , k• ) وباستخدام E = hω و p = hk ، نرى أن هذا هو متجه الطاقة-كمية التحرك الرباعي الابعاد (E ، p• ) . (في الواقع ، مع اتفاقيتنا h=c = 1 ، فإن الكائنين متطابقان!) للتبديل بين التمثيلات ، نعرف تحويل فورييه رباعي الأبعاد f(k) للدالة f(x) للإحداثى الزمكانى x كالتالى
f'(k)dk =∫d⁴x eⁱᵏ · ˣ f(x) (22)
حيث يتم تعريف التكامل رباعي الأبعاد كالتالى
∫d⁴x = ∫dx⁰dx¹dx²dx³ (23)
التحويل العكسي هو
f(x)dx =∫(d⁴k/(2π)⁴) e⁻ⁱᵏ · ˣ f'(k) (24)
ويحتوي على أربعة معاملات من 2π مطلوبة لكل من التكاملات الأربعة . طريقة أخرى لكتابة المعادلة (٢٢) هي
f(w ، k• ) = ∫d³xdt exp[i(ωt - k• . x• )] f(t , x) (25)

في ضوء هذا التعريف ، سنحاول  صياغة معادلاتنا بحيث يأتي كل معامل من معاملات dk ب 2π .

 ----------------------

مثال(٠-٤) :-
دالة دلتا ديراك (x)δ هي دالةمتواجدة في نقطة الأصل و تكاملها يساوى الواحد الصحيح . إنه النموذج المثالي للجسيم الموضعي . تكامل دالة دلتا ديراك δ⁽ᵈ⁾(χ) ذات الابعاد d تعطى بواسطة العلاقة
∫ dᵈx δ⁽ᵈ⁾(χ)=1 (26) ويتم تعريفها بواسطة
∫ dᵈx f(x) δ⁽ᵈ⁾(χ)= f(0) (27)
نتيجة لذلك ، يتم إعطاء تحويل فوريير لها كالتالى
δ'⁽ᵈ⁾(k)= ∫ dᵈx e⁻ⁱᵏ · ˣn δ⁽ᵈ⁾(χ)=1 (28)
وبالتالي ، فإن تحويل فورييه العكسي في أربعة ابعاد هو
δ⁽⁴⁾(x)= ∫ (d⁴k/(2π)⁴) e⁻ⁱᵏ · ˣ (29)

---------------- 

٠-٦ الكهرومغناطيسية :- Electromagnetism
في وحدات SI يمكن كتابة معادلات ماكسويل في الفضاء الحر :
∇ . E=ρ/ε₀ , ∇ x E = -∂B/∂t
∇. B = 0 , ∇ x B = µ₀ J + (1/c²) ∂E/∂t (30)
في هذا الكتاب سنختار نظام وحدات هيفيسيد-لورنتز Heaviside-Lorentz (المعروف أيضًا باسم نظام جاوس أو CGS) الذي يمكن الحصول عليه من SI (النظام الدولى للوحدات) عن طريق وضع ε₀= µ₀ = 1 حيث ε₀ السماحية الكهربية ، و µ₀ النفاذية المغناطيسية ، وبالتالي فإن الجهد الكهروستاتيكي
V(x)=q/(4πε₀|x|)
فى وحدات SI (النظام الدولى للوحدات) يصبح
V(x)=q/(4π|x|) (31)
في وحدات Heaviside Lorentz ، ويمكن كتابة معادلات ماكسويل
∇ . E=ρ , ∇ x E = -(1/c)∂B/∂t
∇. B = 0 , ∇ x B = (1/c)[J+ ∂E/∂t] (32)
من الواضح أن استخدام خيارنا الآخر لـ c = h = 1 يزيل عوامل c من هذه المعادلات. بالإضافة إلى ذلك ، فإن ثابت البنية الدقيقة
α = e/(4πħc)=1/137
تبسط إلى
α = e²/(4π) (33)
لاحظ أننا سنعطي الشحنة الكهرومغناطيسية q بوحدات شحنة الإلكترون e عن طريق كتابة q=Q|e|
تتوافق الشحنة الموجودة على الإلكترون مع Q= -1 .

كُتبت المقالة من قبل / مهند قاسم