فضاء هيلبرت

اشعة الحالة 

تلعب فكرة فضاء هيلبرت دورا محوريا قي الميكانيك الكمومي. في الواقع فان اهم مكونات الميكانيك الكمومي، اشعة الحالة و المؤثرات التي تؤثر عليها، كلاهما مرتبط ارتباطا وثيقا بفضاء هيلبرت خاصة الجملة. بالفعل فان مجموعة كل اشعة الحالة تشكل فضاء هيلبرت بينما يعبر عن الملاحظات بمؤثرات هرميتية تؤثر علي فضاء هيلبرت.فضاء هيلبرت H هو فضاء شعاعي مركب ذو ابعاد غير متناهية في اغلب الاحيان ممنوح جداء داخلي باتباع ديراك نرمز لاشعة فضاء هيلبرت ب< ψ| و نسميها كاتس (مفردها كات ) في اساس معين، نفترضه متقطع للتبسيط، نكتب اشعة الحالة علي شكل الاشعة العمودية

 |ψ >=∑n αn|en > .                     

رمزنا لعناصر الاساس ب < en| حيث n يأخذ قيم من 0 الي ∞. الافادة بان فضاءهيلبرت H هو فضاء مركب يكافئ بالضبط المطلب بان المركبات αn هي اعداد مركبةليكن < ϕ| شعاع حالة اخر بمركبات bn اي      

 |ϕ > = ∑n bn|en >                                     

 الجداء الداخلي بين < ψ| و < ϕ| و الذي يرمز له ب 

< ϕ|ψ > يعرف ب < ϕ|ψ > =∑nb∗n αn.                         

بالمثل فان الجداء الداخلي بين < ϕ|و < ψ|و الذي يرمز له ب < ϕ|ψ > يعرف ب 

< ψ|ϕ > = ∑nα∗nbn.                              

  من هذه التعريفات نلاحظ مباشرة ان 

∗< ϕ|ψ >=< ψ|ϕ >. الجداء الداخلي يعمم الجداء السلمي في الفضاءات الشعاعية الحقيقية. 

من التعريف اعلاه من الواضح ان الاساس { < en| } هو متعامد و متجانس اي < en|em >= δnm. 

الجداء الداخلي < ψ|ϕ > يمكن ايضا ان يفهم علي انه قيمة الدالة الخطية |ϕ > فيالنقطة (الشعاع) < ψ| من فضاء هيلبرت H. بعبارة اخرى

 < ϕ|    :    H → C  

                                              |ψ >→< ϕ|ψ > .                 

      مجموعة كل الدوال الخطية |ϕ > تعرف فضاء هيلبرت اخر ∗H الذي هو ثنوي ل H. العناصر |ϕ > التي تعرف في ترميز ديراك بالبراس (مفرد برا) تعطي بالاشعة الافقية

 < ϕ| =∑nb∗n < en|.        

المجموعة { |en> } هي اساس في الفضاء الثنوي ∗H و هي بالتالي ثنوية للاساس 

{ < en | }. في معني اخر مضبوط فان البرا |ϕ > هو المرافق الهرميتي للكات 

< ϕ| اي .< ϕ| = (|ϕ >)+                                              

 من الواضح ان طويلة شعاع الحالة < ψ |يجب ان تعرف بدلالة الجداء الداخلي الذي هو دائما عدد حقيقي موجب. بالتأكيد فان الطويلة تساوي  < ψ|ψ >/< ψ|ψ >  

الحالتان < ψ| و < α|ψ من اجل اي عدد مر كب α تمثل نفس الحالةالفيزيائية. بعبارة اخري يمكننا دائما ان ننظم الشعاع < ψ| بحيث 1 < = ψ|ψ >. عناصر فضاء هيلبرت H هي اذن اشعة قابلة للتنظيم اي

 if |ψ >∈ H then < ψ|ψ >< ∞.                                 

 باستعمال الشرط  en|em >= δnm > يمكن ان نحسب المركبات αn خاصة شعاع الحالة < ψ|. نجد 

αn =< en|ψ > .   

يأخذ اذن الشكل 

|ψ >= ∑n|en >< en|ψ > .                      

بعبارة اخرى يجب ان يكون لدينا علاقة الاكتمال

 ∑n|en >< en| = 1.

 الكمية |en >< en |هي مؤثر نحصل عليه من الجداء الخارجي بين الكات < en| و البرا |en >. هذا المؤثر هو ايضا مسقط

 الملاحظات 

تمثل الملاحظات خاصة الجملة بمؤثرات هرميتية علي فضاء هيلبرت H .اي مؤثرˆQ يؤثر علي H هو تحويل خطي لانه يأخذ شعاع حالة < ψ |الي شعاع حالة اخر نرمز له ب

 < Qˆ|ψ  Qˆ : H −→ H          

             |ψ >−→ Qˆ|ψ > 

هذه الدالة خطية لانه  

Qˆ(α|ψ > +b|ϕ >) = aQˆ|ψ > +b|Qˆ|ψ > 

من اجل اي عددين مركبين α و b .اذن المؤثر ˆQ يمكن تمثيله بالمصفوفة غير المتناهية الابعاد التي تعطي مركباتها في الاساس { < en| } ب

 < en|Qˆ|em >  Qˆ =∑n∑m< en|Qˆ|em > |en >< em|.

 المؤثر الهرميتي هو المؤثر الذي يحقق الشرط الاضافي ˆQˆ+ = Q حيث +ˆQ هو المرافق الهرميتي ل ˆQ الذي يعرف ب ∗< ϕ|Qˆ|ψ >=< ψ|Qˆ+|ϕ >. بعبارة اخري مركبات اي مؤثر هرميتي تحقق 

 .< en|Qˆ+|em >= (< em|Qˆ|en >)∗ القيمة المنتظرة ل ˆQ في شعاع الحالة < ψ| تعطي بالجداء الداخلي بين  < Qˆ|ψ  و < ψ| اي < Qˆ >=< ψ|Qˆ|ψ > .                             

 القيمة المنتظرة ل ˆQ في < ψ| تساوي λ .علاوة علي ذلك فان الانحراف المعياري ل ˆQ في < ψ| المعرف ب  σ² =< ψ|(Qˆ− < Qˆ > )² |ψ > هو صفر. بعبارة اخرى 

 الشعاع الذاتي < ψ| هو شعاع يقيني للجملة بمعني ان نتائج كل القياسات التي تجري علي مجموعة من الجمل المتطابقة المحضرة بنفس الطريقة في الحالة < Ψ| تعطي نفس القيمة  λ. 

مجموعة كل القيم الذاتية خاصة ˆQ تسمي طيف المؤثر. الطيف يمكن ان يكون منحل اي يمكن ان توجد حالتان او اكثر مرفقة بنفس القيمة الذاتية. في حالة مؤثر هرميتي ذي طيف متقطع فان القيم الذاتية تكون حقيقية و اشعتها الذاتية متعامدة فيما بينها. اذن اذا كانت < λn|هي الاشعة الذاتية ل ˆQ المرفقة ب λn فانهيجب ان يكون لدينا  .λm|λn >= δmn >

 وجود الانحلال يعني ان هناك قيم ذاتية مرفقة بفضاءات جزئية منحلة. الفضاءالجزئي المنحل المرفق بالقيمة الذاتية λn ،و الذي يسمي ايضا بالفضاء الذاتي لˆQ المرفق ب λn ، يحتوي علي كل الاشعة الذاتية المرفقة ب λn .نستعمل طريقةالتعميد ل غرام-شميت من اجل ايجاد الاشعة الذاتية المتعامدة داخل كل فضاء ذاتي. 

من اجل فضاء هيلبرت منته فان مجموعة الاشعة الذاتية < λn| لاي مؤثرهرميتي ˆQ هي مجموعة مكتملة. بعبارة اخري فان اي شعاع حالة < ψ| داخل فضاءهيلبرت يمكن كتابته علي شكل تركيب خطي ل < λn| اي |ψ >= ∑ncn|λn > .               

  المجموع علي n هو محدود علي مجموعة منتهية من N .الخاصية اعلاه هيمكافئة تماما لعلاقة الاكتمال ∑n|λn >< λn| = 1.                 

 البرهان علي خاصية الاكتمال في حالة الفضاءات المنتهية لا يعمم الي حالة الفضاءات غير المنتهية. مع ذلك فاننا نأخذ خاصية الاكتمال، التي هي خاصية محورية في الميكانيك الكمومي، كمسلمة كما فعل ديراك. من الناحية التقنية هذا يعني انه يجب علينا ان نحدد اصناف المؤثرات الهرميتية التي يمكن ان تمثل الملاحظات في النظرية. اذن علاقة الاكتمال هي فقط مسلمة. بالمثل فانعلاقة الاكتمال التي يكون فيها المجموع علي n غير محدد هي ايضا مسلمة.

كتبت المقالة من قبل / مهند قاسم